竞赛专题讲座 之 平面几何四个重要定理
" hspace="12" src="http://files.eduu.com/down.php?id=9597" width="168" align="left" />O为△ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距离，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距离。求证：（1）a?Ra≥b?db+c?dc;
(2) a?Ra≥c?db+b?dc;
(3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。
【分析】
【评注】面积法
10．△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。
求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线）
【分析】
【评注】同一法
11．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，与AD相交于M、N，延长CM交AB于E。
求证：MB//NE。
【分析】
【评注】对称变换
12．
G是△ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G，延长CG交圆于D。求证：AG2=GC?GD。
【分析】
【评注】平移变换
13．
C是直径AB=2的⊙O上一点，P在△ABC内，若PA+PB+PC的最小值是
，求此时△ABC的面积S。
【分析】
【评注】旋转变换
费马点
：已知O是△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O为费马点）
【分析】将C
C‘，O
O’， P
P‘，连结OO’、PP‘。则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘ =PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四点共线。
∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
14．(95全国竞赛) 菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分别作⊙O的切线交AB、BC、CD、DA分别于M、N、P、Q。
求证：MQ//NP。
【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，
结合∠A=∠C知，只需证
△AMQ∽△CPN
←
，AM?CN=AQ?CP。
连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则
∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。
∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α
∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM
又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是
，
∴AM?CN=AO?CO
同理，AQ?CP=AO?CO。
【评注】
15．(96全国竞赛)⊙O1和⊙O2与ΔABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点，EG、FH的延长线交于P。求证：PA⊥BC。
【分析】
【评注】
16．(99全国竞赛)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。
证明：连结BD交AC于H。对△BCD用塞瓦定理，可得
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因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理，
可得
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，故
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。
过C作AB的平行线交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长线于J。
则
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，
所以
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，从而CI=CJ。
又因为CI//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。
因此，△ACI≌△ACJ，从而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。
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已知AB=AD，BC=DC，AC与BD交于O，过O的任意两条直线EF和GH与四边形ABCD的四边交于E、F、G、H。连结GF、EH，分别交BD于M、N。求证：OM=ON。（5届CMO）
证明：作△EOH
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△E’OH‘，则只需证E’、M、H‘共线，即E’H‘、BO、GF三线共点。
记∠BOG=α，∠GOE’=β。连结E‘F交BO于K。只需证
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=1（Ceva逆定理）。
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=
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=
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=1
注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。
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对应于99联赛2：∠E’OB=∠FOB，且E‘H’、GF、BO三线共点。求证：∠GOB=∠H‘OB。
事实上，上述条件是充要条件，且M在OB延长线上时结论仍然成立。
证明方法为：同一法。
蝴蝶定理：P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。
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【分析】设GH为过P的直径，F
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F’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PF
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PF‘，PA
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PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。
又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。
【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则
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。（解析法证明：利用二次曲线系知识）
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