小学教育网 发表于 2016-8-11 21:26:38

1997年全国高中数学联合竞赛第二试试题附录答案

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                                1、如图，已知两个半径不相等的圆

与圆

相交于M、N两点，且圆

、圆

分别与圆

内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。（命题组供题）

　　证明：如图，设圆

、圆

，圆

的半径分别为

、

、

。由条件知O、O1、S三点共线及O、O2、T三点共线，且OS＝OT＝

，连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2。
　　充分性：设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T,又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形,
　　∴∠S＝∠O1NS，∠T＝∠O2NT, ∴∠S＝∠O2NT, ∠T＝∠O1NS，
　　∴O2N∥OS, O1N∥OT,故四边形OO1NO2为平行四边形，由此知OO1＝O2N＝

＝MO2,
OO2＝O1N＝

＝MO1, ∴△O1MO≌△O2OM,从而有

，由此得O1O2∥OM,又由于O1O2⊥MN，故0M⊥MN。
　　必要性：若0M⊥MN，又O1O2⊥MN，故O1O2∥OM，从而有

，
　　设OM＝

，由O1M＝

，O1O＝

－

，O2O＝

－

，O2M＝

，知△O1MO与△O2OM 的周长都等于

＋

，记

，由三角形面积的海伦公式，有

，
化简得（

－

）（

－

－

）＝0，又已知

≠

，∴

＝

＋

，故有
O1O＝

－

＝

＝O2N，O2O＝

－

＝

＝O1N，∴OO1NO2为平行四边形，
∴∠O1NT＋∠T＝180°，∠O2NS＋∠S＝180°，又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形，
∠T＝∠O2NT，∠S＝∠O1NS，∴∠O1NO2＋2∠S＝∠O2NS＋∠S＝∠O1NT＋∠T＝∠O1NO2＋2∠T，即∠S＝∠T，∴∠O1NS＝∠O2NT，故∠O1NS＋∠O1NO2＋∠O2NT＝∠SNO2＋∠S＝180°，
∴S、N、T三点共线。
　　2、试问：当且仅当实数

满足什么条件时，存在实数

使得

…（1）成立，其中

为虚数单位，

,证明你的结论。 （天津供题）
解：易知（1）

，
若存在实数

使（2）成立，则

，
由柯西不等式可得

，如果

，则由（2）可得
/collect/201608/11/124910_4c5b5f584437116.gif
，从而
/collect/201608/11/124910_4c5b5f5844f2716.gif
与（3）矛盾。于是得
/collect/201608/11/124910_4c5b5f5845adf16.gif
，
反之，若（4）成立，有两种情况
　　（i）
/collect/201608/11/124912_4c5b5f58466c216.gif
，则取
/collect/201608/11/124912_4c5b5f584724b16.gif
，显然（2）成立。
　　（ii）
/collect/201608/11/124912_4c5b5f5847e0216.gif
，记
/collect/201608/11/124912_4c5b5f58489b816.gif
，从而
/collect/201608/11/124912_4c5b5f584956e16.gif
不全为0，不妨设
/collect/201608/11/124912_4c5b5f584a12516.gif
，取
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584acdc16.gif
，
　　
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584b89916.gif
，
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584c52716.gif
，易知（2）也成立。
　　综上可知，所求的条件为
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584d0dd16.gif
。
　　3、在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584e07b16.gif
行第
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584ec3216.gif
列中填入的数为
/collect/201608/11/124914_4c5b5f584f7e816.gif
（如表1），然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为
/collect/201608/11/124914_4c5b5f585039f16.gif
（如表2）。求最小的自然数
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585133f16.gif
，使得只要表1中填入的数满足
/collect/201608/11/124916_4c5b5f5851ef416.gif
，则当
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585555a16.gif
时，在表2中就能保证
/collect/201608/11/124916_4c5b5f5859b0816.gif
成立。 （命题组供题）
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　　解：
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585133f16.gif
的最小值为97。
　　（1）取
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这时
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585be2916.gif
，满足题设条件，重排后有
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585c9e016.gif
，
这时
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585d59516.gif
，故
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585133f16.gif
的最小值
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。
　　（2）首先证明：表1中必有一行（设为第

行）的所有数
/collect/201608/11/124918_4c5b5f585ed0316.gif
，必在重排后所得表2的前97行中都出现。
　　事实上，若上述结论不成立，则表1的每一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现，即表2的前97行中至多共有表1中100×24＝2400个数，这与表2的前97行共有25×97＝2425个数矛盾。
其次，由重排要求知表之中每列的数从上到下是由大到小排列的，故当
/collect/201608/11/124918_4c5b5f585f8b916.gif
时，
/collect/201608/11/124918_4c5b5f586047016.gif
故当
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时，
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，
　　综合（1）、（2）知
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的最小值为97。
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