1993年全国数学联合竞赛试题（高中）
" align="absMiddle" />__________。3、若
，
，
，则
的值是 __________。
4、整数
的末两位数是 __________。
5、设任意实数
，要使
恒成立，则
的最大值是__________。
6、三位数（100，101，…，999）共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片倒过来看时则不然，如531。因此，有些卡片可以一卡二用，于是，至多可以少打印__________ 张卡片。
三、（本题满分20分）
三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP。证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为D’，则D’为三棱锥S-ABC的外接球球心。
四、（本题满分20分）
设
，过两定点A（
，0）和B（
，0）分别引直线
和
，使与抛物线
有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线
与
的交点P的轨迹。
五、（本题满分20分）
设正数列
满足
，且
。求
的通项公式。
（第二试）
一、（35分）
设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有∠D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成
个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点。试证
应满足的充分必要条件是
。
二、（35分）
设A是一个有
个元素的集合，A的
个子集
/collect/201608/11/124142_4c5b5f5766cc416.gif
两两互不包含。试证：（1）
/collect/201608/11/124142_4c5b5f5767c6216.gif
；（2）
/collect/201608/11/124142_4c5b5f576881816.gif
。其中
/collect/201608/11/124142_4c5b5f57693cf16.gif
表示
/collect/201608/11/124142_4c5b5f5769f8616.gif
所含元素的个数，
/collect/201608/11/124142_4c5b5f576ab3c16.gif
表示
个不同元素取
/collect/201608/11/124142_4c5b5f57693cf16.gif
个的组合数。
三、（35分）
水平直线
通过圆O的中心，直线
/collect/201608/11/124144_4c5b5f576bada16.gif
，
与
相交于M，点M在圆心的右侧，直线
上不同的三点A、B、C在圆外，且位于直线
上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP、BQ、CR为圆 O的三条切线，P、Q、R为切点。试证：（1）
与圆O相切时，AB×CR＋BC×AP＝AC×BQ；（2）
与圆O相交时，AB×CR＋BC×AP＜AC×BQ；(3)
与圆O相离时，AB×CR＋BC×AP＞AC×BQ。
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