第十八讲整数问题：关于整除之一
12A4－001证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除．
【题说】1901年匈牙利数学奥林匹克题1．
【证】容易验证14≡24≡34≡44 （mod 5）
假设n=4k＋r，k是整数，r=0，1，2，3．则
Sn=1n＋2n＋3n＋4n≡1r＋2r＋3r＋4r（mod 5）
由此推出，当r=0时，Sn≡4，而当r=1，2，3时，Sn≡0（mod 5）．因此，当且仅当n不能被4整除时，Sn能被5整除．
A4－002证明：从n个给定的自然数中，总可以挑选出若干个数（至少一个，也可能是全体），它们的和能被n整除．
【题说】1948年匈牙利数学奥林匹克题3．
【证】设a1，a2，…，an是给定的n个数．考察和序列：a1，a1＋a2，a1＋a2＋a3，…，a1＋a2＋…＋an．
如果所有的和数被n除时余数都不相同，那么必有一个和数被n除时余数为0．此时本题的断言成立．
如果在n个和数中，有两个余数相同（被n除时），那么从被加项较多的和数中减去被加项较少的和数，所得的差能被n整除．此时本题的断言也成立．
A4－0031．设n为正整数，证明132n－1是168的倍数．
2．问：具有那种性质的自然数n，能使1＋2＋3＋…＋n整除1?2?3…?n．
【题说】1956年上海市赛高三复赛题1．
【解】1．132n－1=（132）n－1，能被132－1，即168整除．
2．问题即
何时为整数．
（1）若n＋1为奇质数，则
（n＋1）
2（n－1）！
（2）若n＋1=2，则
（n＋1）|2（n－1）！
（3）若n＋1为合数，则
n＋1=ab
其中a≥b＞1．
在b=2时，a=n＋1－a≤n－1，所以
a|（n－1）！，（n＋1）|2（n－1）！
在b＞2时，2a≤n＋1－a＜n－1，所以
2ab|（n－1）！
更有 （n＋1）|2（n－1）！
综上所述，当n≠p－1（p为奇质数）时，1＋2＋…＋n整除1?2…?n．
A4－004证明：如果三个连续自然数的中间一个是自然数的立方，那么它们的乘积能被504整除．
【题说】 1957年～1958年波兰数学奥林匹克三试题1．
【证】设三个连续自然数的乘积为n=（a3－1）a3（a3
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