第三十一讲代数：关于集合、数、式之六
12B1-029 求所有实数a，使得存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足关系：
【题说】第二十一届(1979年)国际数学奥林匹克题5．本题由以色列提供．
【解】利用柯西不等式及题设条件，有
故中间不等式只能取等号，这意味着在xk≠0时，
由此推知，x1，x2，x3，x4，x5中至多一个非0．因此，只能有下面两种情况：
(1)x1=x2=x3=x4=x5=0，此时a=0；
(2)某个xk=c≠0，其余xi=0(i≠k)．这时由已知得kc=a，k3c=a2，k5c=a3．从而
k2=a，c=k
总之，当且仅当a=0，1，4，9，16，25时，存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足题中三个方程．
B1-030 下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正．
【题说】1981年全国联赛题2．
【解】lg3、lg0.27、lg9的值同为正确或同为错误．因表中只有两处错误，故三者都对．同理，lg2、lg5、lg8、lg6都对．
再若lg7=2(b+c)，则lg14=lg7+lg2=1-a+2b+c，lg0.021=lg3+lg7-3=2a+b+2c-3，lg2.8=2lg2+lg7-1=1-2a+2b．即lg7=2(b+c)对，就推出lg14、lg0.021、lg2.8三个值都错，与题设矛盾，故知lg7不对．应为lg7=lgl4-lg2=2b+c．
lg1.5的值也不对，应为lg1.5=lg3+lg5-1=3a-b+c-1．
B1-031 把n2个互不相等的实数排成下表：
a11，a12，…，a1n
a21，a22，…，a2n
…
an1，an2，…，ann
取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小数，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较xn与yn的大小．
【题说】1982年上海市赛二试题 2
【解】设x=aij，y=apq，则
aij≥aiq≥apq
所以x≥y．
(1)当n是奇数时，xn≥yn．
(2)当n是偶数时
(i)如果x≥y≥0，则xn≥yn；
(ii)如果0≥x≥y，则xn≤yn；
(iii)如果x≥0≥y，则当x≥-y时，xn≥yn；当x≤-y时，xn≤yn．
B1-032 对任意实数x、y．定义运算x*y为：
x*y=ax+by+cxy
其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x*d=x，求d的值．
【题说】1985年全国联赛一试题 2(4)．原题为填空题．
【解】由所设条件，有
1*2=a+2b+2c=3
(1)
2*3=2a+3b+6c=4
(2)
x*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x
(3)
由(3)得
a+cd=1
(4)
bd=0
(5)
因d≠0，故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最后由(4)式得d=4．
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