第二十三讲整数问题：关于综合题之二
12A5－011自然数n的数字和用S（n）来表示．
（1）是否存在一个自然数n，使得n＋s（n）=1980；
（2）证明：在任意两个连续的自然数之中，至少有一个能表示成n＋S（n）的形式，其中n为某个自然数．
【题说】第十四届（1980年）全苏数学奥林匹克八年级题6．
【解】（1）当n=1962时，n＋S（n）=1980．
（2）令Sn=n＋S（n），如果n的末位数字是9，则Sn+1＜Sn；否则Sn+1=Sn＋2．对任意两个连续的自然数m（m≥2），m＋1，在Sn＜m的n中，选择最大的，并用N表示．这时SN+1≥m＞SN，所以N的末位数字不是9，从而SN+1=SN+2．由m≤SN+1=SN+2＜m＋2，即得SN+1=m或SN+1=m＋1．
A5－012设n为≥2的自然数．证明方程xn＋1=yn+1在x与n＋1互质时无正整数解．
【题说】1980年芬兰等四国国际数学竞赛题3．本题由匈牙利提供．
【证】xn=yn+1－1=（y－1）（yn＋yn-1＋…＋1）．如果质数p是y－1与yn＋yn-1＋…＋1的公因数，则p整除xn，从而p是x的因数．但y除以p余1，所以yn＋yn-1＋…＋1除以p与n＋1除以p的余数相同，即n＋1也被p整除，这与x、n＋1互质矛盾．因此y－1与yn＋yn-1＋…＋1互质，从而y－1=sn，yn＋yn-1＋…＋1=tn，其中s、t为自然数，st=x．但yn＜yn＋yn-1＋…＋1＜（y＋1）n，所以yn＋yn-1＋…＋1≠tn，矛盾，原方程无解．
A5－013设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abc－be－ac－ab是不能表示为xbc＋yac＋zab形式的最大整数（其中x、y、z是非负整数）．
【题说】第二十四届（1983年）国际数学奥林匹克题3．
【证】熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使ax＋by=n．当n＞ab－a－b时，首先取0≤x＜b（若x＞b则用x－b、y＋a代替x、y），我们有
by=n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a（b－1）=－b
所以y＞－1也是非负整数．即n＞ab－a－b时，有非负整数x、y使ax＋by=n．
因为a、b、c两两互素，所以（bc，ac
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