一题多解 四则运算试题（二）
例10 8.4÷0.7（辽宁省沈阳市）
【分析1】把小数化成分数，按分数除法法则计算.
【解法1】原式=.
【分析2】根据除法性质，把小数化成整数，再进行口算.
【解法2】原式=（8.4×10）÷（0.7×10）
=84÷7=12.
【分析3】根据分数与除法的关系，把除法转化为分数，根据分数基本性质计算.
【解法3】原式=
【评注】以上三种解法都比列竖式计算简便，因为都可充分利用口算，提高运算速度.其中解法3为最好.
例11125×16
（湖北省武汉市）
【分析1】把16转化为8×2进行计算.
【解法1】原式=125×8×2=1000×2=2 000.
【分析2】把125转化为
【解法2】原式=×16=2 000
【分析3】根据积不变的规律简算.
【解法3】原式=（125×8）×（16÷8）
=1000×2=2 000.
【评注】以上三种解法都是抓住“125×8=1000”的特点，使计算简便.其中解法2最佳.
例12
（湖南省长沙市东区）
【分析1】按分数除法法则进行计算.
【解法1】==5
【分析2】用分子相除的商作分子，分母相除的商作分母.
【解法2】原式=.
【评注】以上两种解法，解法2最简捷，但这种解法必须是在被除数的分子、分母分别是除数的分子、分母的倍数的情况下，才能使计算简便.
例13
（天津市河北区）
【分析1】按四则运算顺序进行计算.
【解法1】原式=.
【分析2】把除法全部转化为乘法，直接约分计算.
【解法2】原式=.
【分析3】根据题目中数的特点，合理地运用乘除混合运算的交换性质进行计算.
【解法3】原式=
=1×1=1
【评注】乘除混合的分数式题，一般是把它转化为连乘的形式，直接约分，最后求出积，如解法2，但还要注意抓数的特点进行计算，如解法3就更为简捷.
例14 [×（2.37+9.2）+7.63×]÷
（湖北省武汉市武昌区）
【分析1】按四则混合运算顺序计算.
【解法1】原式=
=
=.
【分析2】运用乘法分配律，简化中括号内的运算.
【解法2】原式=[×（2.37+7.63+9.2）]÷
=[×19.2]÷
=16×=9.6
【分析3】把“÷”转化为“×”，再运用乘法分配律，使计算简便.
【解法3】原式=[×（2.37+9.2）+7.63×]×
=（2.37+9.2）××+7.63××
=（2.37+9.2）×+7.63×
=（2.37+7.63+9.2）×
（再次运用分配律）
=19.2×=9.6.
【评注】在四则混合运算中，根据题目中数字的特点，灵活地运用运算定律和性质，这是使四则混合运算简便的关键.以上解法2和解法3都比解法1简便，其中以解法2为最佳解法.
例15化简
（河北省青县）
【分析1】根据分数的基本性质，把分子和分母两部分都乘以这两部分中分数的所有分母的最小公倍数12，再运用乘法分配律化简.
【解法1】原式=
=7.
【分析2】根据分数与除法的关系，把繁分数转化为除法算式，再进行计算.
【解法2】原式=
=.
【分析3】将繁分数的分子和分母两部分分别进行计算，再根据分数与除法的关系把繁分数转化为除法进行计算.
【解法3】原式==.
【评注】化简繁分数，一般采用解法3的方法进行，但也要注意观察题目的特点，运用运算定律和性质使计算更简便.如解法1就是抓住了题目中数字相同、只有运算符号不同的特点，运用分数基本性质和乘法分配律，使计算简便。
例16
（北京市海淀区）
【分析1】 把分子和分母两部分分别进行计算.
【解法1】 原式=.
【分析2】根据分数与除法的关系，使繁分数转化为除法，再根据除法运算性质使计算简便.
【解法2】原式=
=
=
【评注】此类题一般采用解法2为好，因为这种方法能最大程度地使分子和分母进行约分，从而使计算简便.
例17 化简
（天津市和平区）
【分析1】按化简繁分数的一般方法，把分子和分母两部分分别计算出结果，然后用分子除以分母求出结果.
【解法1】原式=
【分析2】把分子和分母两部分中的小数，全部化成分数进行计算.
【解法2】原式=
=
【分析3】根据分数的基本性质，把繁分数的分子和分母两部分直接约简.
【解法3】原式=
【分析4】根据分数基本性质，把繁分数的分子和分母两部分都扩大10 000倍，使小数全部转化为整数，然后再进行约分化简.
【解法4】原式=
【分析5】运用乘法交换律，使繁分数转化为另外几个繁分数的乘积形式，再根据分数基本性质，使各个繁分数转化为分子和分母都是整数的分数，再进行约分计算.
【解法5】原式=
=
=
【分析6】把繁分数转化为除法，再运用除法的运算性质简算.
【解法6】原式=(3.1×0.04×1.7)÷（0.85×1.4×6.2）
=（3.1÷6.2）×（0.04÷1.4）×（1.7÷0.85）
=.
【评注】以上六种解法中，解法3和解法4是比较简便的，但解法3在计算过程中容易出现错误，原因就是小数太多.解法4把小数转化为整数，就减小了出错的可能性，因此，解法4为最佳解法.
例18 化简比2.25∶
（广东省广州市越秀区）
【分析1】根据比的性质，把比的前项和后项同时扩大8倍，再进行化简.
【解法1】原式=（2.25×8）∶（×8）
=18∶3=6∶1
【分析2】把2.25转化为，再按求比值的方法进行化简.
【解法2】原式=÷==6∶1
【分析3】把分数化成小数，再根据比的基本性质进行化简.
【解法3】原式=2.25∶0.375=2250∶375
=6∶1.
【评注】化简比的方法，一般是运用比的基本性质进行化简.如果前后项都是分数，一般是运用求比值的方法进行化简；如果前后项都是小数，或转化成分数比，或转化成整数比，再进行化简.总之要结合实际情况灵活选用方法，怎样简便怎样算.
例19 用111的约数组成一个比例是（ ）.
（河南省郑州市）
【分析1】因为111的约数有1、3、37和111，所以本题实际上就是用这四个数做比例的项，组成比例.
【解法1】因为1∶37=，3∶111=，根据比例的意义得：1∶37=3∶111.
【分析2】由3×37=1×111，根据比例的基本性质求得比例式.
【解法2】37∶1=111∶3.
【分析3】根据比例的基本性质，将解法1中的比例内项交换位置即得新比例.
【解法3】1∶3=37∶111.
【分析4】根据比例的基本性质，将解法1中比例的外项交换位置即得新比例.
【解法4】111∶37=3∶1.
【分析5】根据等式左右两边相等的特点，分别把解法1、2、3、4的比例式左右两边交换位置，组成新比例.
【解法5】3∶111=1∶37；111∶3=37∶1，37∶111= 1∶3；3∶1=111∶37.
【评注】组比例一般有两种方法：一是根据比例的意义组比例，如解法1；二是根据比例的基本性质组比例，如解法2.同时，由一个比例式可转换成八个比例式，如以上的八个比例式都是一个比例式转换而来的.
例20 把一个减法算式的被减数、减数与差相加，和是180，减数与差的比是1∶2.减数是（ ），差是（ ）.
（湖南省长沙市东区）
【分析1】因为“被减数=差+减数”，且减数∶差=1∶2，而被减数+减数+差=180，所以180对应的份数是（1+2）+1+2=6（份）.因此，运用归一法可先求减数，再求差.
【解法1】减数：180÷（1+ 2+ 1+ 2）
=180÷6=30
差：30×2=60.
【分析2】由分析1，再运用按比例分配方法进行解答.
【解法2】减数：180×
=180×=30.
差：180×
=180×=60.
【分析3】由分析1，运用方程解题.
【解法3】设减数为x，则差为2x.
（1+2）x+x+2x=180
解之得：x=30
2x=2×30=60.
【分析4】由分析1可知，180=被减数×2.由此可求出被减数：180÷2=90；又因为减数：差=1∶2，再运用按比例分配方法，可先求减数，再求差.
【解法4】减数：180÷2×=30.
差：180÷2×=60.
【评注】以上四种解法，解法4的分析思路清晰直接，解答方法也最为简捷，是本题的最佳解法.
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