决战2013年小升初数学竞赛解题密匙：假设问题
在2013年小升初中，奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖，可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙，希望对大家有所帮助。四、假设问题——以“假”求“真”，化难为易
用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指 出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”
科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥 白尼的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。
在解答数学问题中，假设未知数为 x，列出方程进行解题，就是建立在 假设的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量 关系简单化。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的， 它往往先假设某种现象的存在，得到和已知条件不同的“差异”，再分析“差 异”的原因，进行适当的调换，使问题得到解决。
例 1 笼中共有鸡兔 100 个头，350 只脚，问鸡兔各有多少头?(1990 年济南市历下区小学数学五年级竞赛题)
分析：假设 100 头全为兔，则应有 4×100=400 只脚，比实际多了 400-350=50 只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少 4-2=2 只脚，要减少 50 只脚，就要换 50÷2=25 头鸡，这样就求出了鸡的头数。
解法一：
(4×100-350)÷(4-2)=25(头)⋯⋯鸡，100-25=75 (头)⋯⋯兔。
或者 (350-2×100)÷(4-2)=75(头)⋯⋯兔，100-75=25 (头)⋯⋯鸡。
解法二：
设：鸡有 x 头，则兔有(100-x)头。
2x+4×(100-x)=350，解之得 x=25。
100-25=75(头)⋯⋯兔。 答：鸡有 25 头，兔有 75 头。
例 2 光明书店卖出甲、乙两种书共 120 本，甲种书每本 5 元，乙种书每本 3.75 元，卖出的甲种书比乙种书多收入 162.5 元。甲、乙两种书各卖出几 本?(《小学生数学报》第五届初赛题)
分析 1：假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入 5×120-3.75×0=600 元，比实际的相差数多 600-162.5=437.50 元。如果甲种本换 一本为乙种本(也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本)，那么甲种本的收入比乙种本少 5+3.75=8.75 元，要减少 437.50 元，就要换几次(也就是 乙种本的本数)， 437.50÷8.75=50(本)。
解法 1：
(5×120-162.5)÷(5+3.75)=50(本)⋯⋯乙种本，120-50=70(本)⋯⋯ 甲种本。
分析 2：假设甲、乙各卖出 120÷2=60 本，则甲比乙多收入(5-3. 75)×60=75 元，比实际的相差数少 162.5-75=87.5 元(说明甲不止 60 本)。 如果乙换一本为甲，那么乙的收入比甲少 5+3.75=8.75 元，要增加 87.5 元， 就要换几次(也就是需要增加甲种本的本数)， 87.5÷8.75=10 (本)，所以卖出的甲种本有 60+10=70(本)。
解法 2：
÷(5+3.75)=10(本)
60+10=70(本)⋯⋯甲种本，
60-10=50 (本)⋯⋯乙种本。 答：卖出的甲种本有 70 本，卖出的乙种本有 50 本。
例 3 有 1 元、5 角、2 角三种人民币 11 张，共值 4.7 元，其中 2 角的 张数比 5 角多 3 张。三种人民币各有几张?
分析：由于 2 角与 5 角的张数不同，在调换时较难进行。如果 5 角多 3 张，那么题意改为“有 1 元、5 角、2 角的人民币共 11+3=14 张，共值 4.7+0.5×3=6.2 元(62 角)，其中 2 角的张数与 5 角的同样多，求各有几张?”再 用假设法解题。
根据以上的改题，可以假设全是 1 元(10 角)的，则共值 10×14=140 角，比实际多 140-62=78 角，如果用 2 张 10 角的，调换：1 张 2 角、1 张 5 角的(总张数不变)，那么可少 10×2-2-5=13 角，要减少 78 角，就要换几 次(也就是 2 角或 5 角的张数)， 78÷13=6(张)，就是原来 2 角的有 6 张，原来 5 角的有 6-3=3 张。
解法：
÷(10×2-2-5)=6(张)⋯⋯2 角，6-3=3(张)⋯⋯5 角， 14-2×6=2(张)⋯⋯1 元。
答：1 元有 2 张，5 角有 3 张，2 角有 6 张。
如果原题中“2 角的减少 3 张”，你能解答吗?你能用列方程的方法解 答吗?
通过以上例题，可以看到用假设法解答“鸡兔问题”时，它的一般解题 规律是：
(1)假设结果(如笼中都是兔);
(2)求出相差(如脚的只数与某一已知条件有“差异”);
(3)进行调换(如一只兔调换一只鸡，使兔的只数减少);
(4)由甲入手，求出是乙(假设笼中的动物都是兔，但先求出的倒是鸡 的头数)。
例 4 买语文书 30 本，数学书 24 本，共花 41.7 元，已知每本语文书比每 本数学书贵 0.22 元，语文书每本多少元?数学书每本多少元?(1990 年长春市小学数学竞赛五年级试题)
分析：假设语文书的单价便宜 0. 22 元，那么数学书和语文书的单价就相同了，买 30 本语文书就可便宜 0.22×30=6.6 元。41.7 元减去 6.6 元所得 的差正好是 30+24=54 本数学书的总价。这样，就可求出数学书的单价了。
解法：
(41.7-0. 22×30)÷(30+24)=0.65(元)⋯⋯数学书单价。
0.65+0.22=0.87(元)⋯⋯语文书单价。
答：语文书每本 0. 87 元，数学书每本 0. 65 元。
例 5 少年宫开办音乐、美术两个培训班，去年共招收 200 人。今年计划招收 246 人，其中音乐班人数比去年增加 25%，美术班人数比去年增加 20%。求今年计划招收的音乐班、美术班各有多少人?
分析：假设美术班今年比去年也增加 25%，则今年计划招收 200×(1+25%)=250 人，比实际多 250-246=4 人，这是因为美术班今年比去年增 加的百分数与实际相比较多了去年的 25%-20%=5%，这里的 5%，就是 4 人的对应分率，所以去年美术班有 4÷5%=80 人。
解法：
÷(25%-20%)=80 人 ⋯⋯⋯去年美术班人数
80×(1+20%)=96 人⋯⋯今年美术班人数
246-96=150 人 ⋯⋯今年音乐班人数。
答：今年音乐班计划招收 150 人，美术班计划招 96%人。
假设“音乐班今年比去年增加 20%”，那么怎样解答呢?你去试一试看。
例 6 甲原有的故事书是乙的 6 倍，两人各再买 2 本，则甲现有的书是乙的 4 倍。甲、乙两人原来各有故事书多少本?
分析：假设要使甲现有的书仍是乙现有的书的 6 倍，则甲应买 2×6=12本，但甲只买了 2 本，少买了 12-2=10 本，这样甲现有的书就只有乙现有的书的 4 倍了，比实际少买了乙现有的书的 6-4=2 倍，所以乙现有的书是 10÷2=5(本)，乙原来的书有 5-2=3 本。
解法：
(2×6-2)÷(6-4)=5(本)⋯⋯乙现有的书，5-2=3(本)⋯⋯乙原 来的书， 3×6=18(本)⋯⋯甲原来的书。
答：甲原来有 18 本故事书，乙原来有 3 本故事书。你能用列方程的方法 解答吗?
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