决战2013年小升初数学竞赛解题密匙：行程问题
在2013年小升初中，奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖，可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙，希望对大家有所帮助。八、行程问题——画画、算算是你的好帮
讨论有关的物体运动的速度、时间、距离这三者关系的问题叫做行程问 题。行程问题在各类竞赛中经常碰到，它内容丰富、变化多端，是小学数学中的重点和难点。因此可采用作图的手段，画画、算算，展示它们的内在关 系，帮助思考。只要分析正确，思路对头，处理妥当，问题不难解决。
行程问题的基本数量关系式是： 速度=距离÷时间 时间=距离÷速度 距离=速度×时间
例 1 甲、乙两地相距 56 千米，汽车行完全程需 1.4 小时，步行要 14 小时，一个人由甲地出发，步行 3.5 小时后改乘汽车，他到达乙地总共用了 几小时?(《小学生数学报》第二次全国小学数学邀请赛五年级试题)
解法 1：(1)求步行的距离是多少?
(56÷14) ×3.5=14(千米)。
(2)求乘汽车用的时间是多少?
(56-14)÷(56÷1.4)=1.05(小时)。
(3)求到达乙地总共用的时间是多少?
1.05+3.5=4.55(小时)。答：他到达乙地总共用了 4.55 小时。
解法 2：设剩余路程改乘汽车要用 x 小时。 步行路程：(56÷14)×3.5 千米;乘车路程：(56÷1.4)x 千米。 得方程：(56÷14)×3.5+(56÷1.4)=56。
14+4x=56，
x=1.05。
到达乙地总共用：
3.5+1.05=4.55 小时。 答：略。
例 2 甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 56 千 米，乙车每小时行 48 千米，两车在离中点 32 千米处相遇。求 AB 两地间的距离是多少千米?(1983 年《小学生报》第一次数学邀请赛四年级试题)
解： (1)相遇时甲车比乙车多行了多少千米?
32×2=64(千米)。
(2)甲车比乙车每小时多行多少千米?
56-48=8(千米)。
(3)甲、乙两车同时从出发到相遇要多少小时?
64÷8=8(小时)。
(4)A、B 两地间的距离是多少千米?
(56+48)×8=832(千米)。
答：A、B 两地间距离是 832 千米。
例 3 东西两城相距 75 千米，小东从东向西而走，每小时 6.5 千米;小 希从西向东而走，每小时走 6 千米;小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15 千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行;遇见了小东又 折回向西而行;再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米?(北京市第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题)
解：本题关键是“三人同时动身，小辉往返途中，没有间断，直到他们三人相遇”。所以，小辉所行的时间与小希和小东相遇的时间相同，小辉行的路程等于他骑自行车的速度乘以小东和小希相遇的时间。
15×
=15×6
=90(千米)。
答：小辉共走了 90 千米。
例 4 甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行 12 千米。甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距 离西站 31.5 千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米?
(1987 年《小学生数学报》小学五年级邀请赛试题)
解：(1)甲车比乙车多行了多少千米?
31.5×2=63(千米)。
(2)两车同时从甲站出发到相遇，甲车和乙车各行了多少小时?
63÷12=5.25(小时)。
(3)甲车从西站开始返回到两车相遇，行了多少小时?
5.25-4.5=0.75(小时)。
(4)甲车每小时行多少千米?
31.5÷0.75=42(千米)。答：甲车每小时行 42(千米)。
例 5 B 处的兔子和 A 处的狗相距 56 米，兔子从 B 处逃跑，狗同时从 A 处跳出追兔子，狗一跳前进 2 米，狗跳 3 次时间与免子跳 4 次的时间相同， 兔子跳出 112 米到达 C 处，狗追上兔子，问兔子一跳前进多少米?(1990 年上海市黄浦区小学四年级数学选拔赛试题)
根据追及问题，当兔跳 112 米时，狗跳 56+112=168(米)。因此，狗跳的次数是： 168÷2=84(次)。 兔子跳的次数是： 84÷3×4=112(次)。
兔跳一次前进 112÷112=1(米)。
解法 2：设兔子一跳前进 X 米，由题意可知狗跳(2×3)米与兔子跳(X×4)米的时间相同，根据题意，得方程：
(56+112)6×4x=112，解得 X=1。
例 6 一列火车长 200 米，它以每秒 10 米的速度穿过 200 米长的隧道， 从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少时间?
解：火车过隧道，就是从车头进隧道到车尾离开隧道止。如图所示，火车通过隧道时所行的总距离为：隧道长+车长。
(200+200)÷10=40(秒)。
答：从车头进入隧道到车尾离开共需 40 秒。
例 7 某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是 15 秒钟，客车 105 米，每小时速度为 28.8 千米，求步行人每小时 行多少千米?
解：根据题意，火车和人在同向前进，这是一个火车追人的“追及问题”。 由图示可知：
人步行 15 秒钟走的距离=车 15 秒钟走的距离—车身长. 所以，步行人速度×15=28.8×1000÷(61×60)×15—105， 步行人速度=28.3×1000(60×60)—105÷5=1 米/秒。
1×60×60=3600 米/小时=3.6 千米/小时。
答：步行人每小时行 3.6 千米。
例 8 一人以每分钟 60 米的速度沿铁路步行，一列长 144 米的客车对面 开来，从他身边通过用了 8 秒钟，求列车的速度?
解：客车与人是相向行程问题，从图示中可知：人 8 秒钟走的距离=车身长—车 8 秒钟走的距离。
60÷60×8=车身长—车速×8，车速×8=车身长—60÷60×8， 车速=(144—60÷60×8)÷8=17(米)。
答：客车速度是每秒 17 米。
例 9 马路上有一辆车身为 15 米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时 18 千米，马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由 东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6 秒钟后汽车离开了 甲;半分钟之后，汽车遇到迎面跑来的乙;又过了 2 秒钟，汽车离开了乙。 问再过多少秒后，甲、乙两人相遇?(1989 年《小学生数学报》小学数学邀请赛决赛试题)
解：(1)先把车速换算成每秒钟行多少米?
18×l000÷3600=5(米)⋯⋯每秒车速。
(2)求甲的速度。汽车与甲同向而行，是追及问题。 甲行 6 秒钟的距离=车行 6 秒钟的距离—车身长。 所以，甲速×6=5×6—15，
甲速=(5×6—15)÷6=2.5(米)⋯⋯每秒甲速。
(3)求乙的速度。汽车与乙相向而行，是相向行程问题。 乙行 2 秒钟的距离=车身长—车行 2 秒钟的距离。
乙速×2=15—5×2， 乙速=(15—5×2)÷2=2.5(米)⋯⋯每秒乙速。
(4)汽车从离开甲到离开乙之间的时间是多少?
0.5×60+2=32 秒。
(5)汽车离开乙时，甲、乙两人之间的距离是多少?
(5-2.5)×(0.5×60+2)=80(米)。
(6)甲、乙两人相遇时间是多少?
80 ÷(2.5+2.5)=16(秒)。 答：再过 16 秒钟以后，甲、乙两人相遇。
例 10 甲、乙两部汽车同时从 A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地 75 千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离 B 地55 千米处，求 A、B 二地相遇多远?(1978 年苏州市初中数学竞赛试题)
解：从图中可知，甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个 A 、B 的全程， 其中甲走了 75 米，从出发到第二次相遇，甲、乙合走了三个 A、B 的全程， 其中甲走了 75×3=225(千米)，在 225 千米中，又包括甲从 B 地返回所走的 55 米，因此，225 千米减去 55 千米就是 A、B 之间相距的路程。
75×3—55=170(千米)。答：甲、乙两地相距 170 千米。
本题是一道特殊的行程问题，它的解法十分巧妙，要采用画图分析，揭 示隐蔽的数量关系，以甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个 A 、B 的 全程，其中甲走了 75 千米作为突破口，问题就迎刃而解。
例 11 某船来往于相距 360 千米的两港口之间。上行(逆水)需用 18 小时，下行要用 15 小时。这只船在静水中速度和水流速度各是多少?
解：本题是行程问题的一种特殊情况，称为“流水问题”。它除了涉及船速、时间和路程外，还涉及到水流速度。 由于水流速度的影响，船的实际速度就会发生变化。它的速度变化满足
下列关系式：
船静水速+水流速=船顺水速 船静水速-水流速=船逆水速
或 (船顺水速+船逆水速)÷2=船静水速 (船顺水速-船逆水速)÷2=水流速
本题已知船上、下行 360 千米分别需 18 小时和 15 小时， 则 船顺水速：360÷15=24(千米/小时);船逆水速： 360÷18=20(千米/小时)。所以，船在静水中速度是：
(24+20)÷2=22(千米/小时)。
答：这只船在静水中的速度是每小时 22 千米，水流速度是每小时 2 千米。
例 12 一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟。在同样的风速下，逆风跑 70 米，也用了 10 秒钟。问：在无风的时候，他跑 100 米要用多少秒? (1990 年第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题)
解法 1：(1)求顺风时每秒跑多少米?
90÷10=9(米)。
(2)求逆风时每秒跑多少米?
70÷10=7(米)。
(3)求无风时每秒跑多少米?
(9+7)÷2=8(米)。
(4)求无风时跑 100 米用了多少秒?
100÷8=12.5(秒)。 答：无风时，他跑 100 米要用 12.5 秒。
解法 2：(1)求顺风时每秒跑多少米?
90÷10=9(米)。
(2)求逆风每秒多少米?
70÷10=7(米)。
(3)求风速每秒多少米?
(9—7)÷2=1(米)。
(4)求无风时每秒多少米?
9—1=8(米)或 7+1=8(米)。
(5)求无风时跑 10Q 米需要多少秒?
100÷8=12.5(秒)。
答：略。
例 13 摩托车驾驶员以每小时 20 千米行了 60 千米，回来时每小时行 30 千米，问往返全程的平均速度是多少?(1980 年美国长岛小学数学奥林匹克赛试题)
解：驾驶员往返总时间是：
60÷20+60÷30=3+2=5(小时)。 往返总路程是：60×2=120(千米)。
全程平均速度：60×2÷5=24(千米/小时)。
(这里特别要注意：不能算成(20+30)÷ 2=25 千米/小时) 现在我们把摩托车驾驶员行的 60 千米扩大(或缩小)若千倍，增加(或减少)若干千米，而往返速度不变，再计算一下往返全程的平均速度，你就 发现结果仍是每小时 24 千米。如果设摩扎车驾驶员行了 S 千米，全程平均速度是：
计算结果与上面相同。 解题时还可以设驾驶员行的路程为“1”，同样可以求得往返全程的平均
我们把 24 叫做是 20、30 的调和平均数。
例 14 兄妹二人在周长 30 米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米，他们第十次相遇时，妹妹还需要走__米才能回到出发点。(北京市第二届小学生“迎春杯”数学竞赛试题)
解：(1)从出发到第一次相遇所需时间：
30÷(1.3+1.2)=12(秒)。
(2)从出发到第十次相遇所需时间：
12×10=120 (秒)。
(3)妹妹共行路程：
1.2×120=144(米)。
(4)第十次相遇点与出发点的距离
144÷30=4⋯⋯24。
30—24=6(米) 答：妹妹还需走 6 米才能回到出发点。
例 15 当甲在 60 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先 10 米，比丙领先 20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米?(1990 年美国小学数学奥林匹克邀请赛试题)
解法 1：在同样时间内，甲跑 60 米，乙跑 50 米，丙跑 40 米，即在相同 单位时间内甲跑 6 米，乙跑 5 米，丙跑 4 米。
10÷5=2，4×2=8(米)，8+40=48(米)，60-48=12 (米)。
答：当乙到终点时，将比丙领先 12 米。
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