决战2013年小升初数学竞赛解题密匙：填数问题
在2013年小升初中，奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖，可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙，希望对大家有所帮助。二、填数问题——从“九宫算”谈
在填数问题中，小学生常常采用“凑”的方法，通过几次试验来寻找解 答。如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。 在这个意义上讲，填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。
我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献，著名的“九宫算”就 是其中之一，最早提出的问题是：
将 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数之和相等。
这种图形填数，我国古代称为“九宫算”、“纵横图”，国外叫做幻方。
“九宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在 3×3 的小格内，它是一个三阶幻方。 传说大禹治水的时候，洛水中浮出一只神龟，龟背上驮了一个“洛书”图。将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。
一般地，在 n×n 的方格内，既不重复又不遗漏地填上 n2 个自然数，每 个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等，这样排成的数表称为 n 阶幻方。都相等的和叫幻和。
幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林 就曾经对幻方很感兴趣。目前，最大的幻方是 105 阶，它是由美国一位 13 岁少年作成的。
下面我们来谈谈如何填好“九宫图”。
例 1 填九宫图所表示的幻方。 解：首先应解决二个问题：
(1)每行、每列的和是多少?(这个和叫幻和)
(2)中间位置的数应当填几?(求幻和时几次用到了它) 为了叙述方便，我们把每个方格内要填的数字用字母表示。
首先求出幻和。因为 a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=1+2+3+4+⋯⋯+9=45， a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2+c3=幻和，所以，幻和×3=45，幻和=45÷3=15。
其次，确定中心数 b2。 因为(al+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(a2+b2+c2)+(b1+b2+b3)=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60，所以 b2=5，即中间数应当是 5。
最后，考虑四个角上应填什么数 假设 a1为奇数，那么
1)如果 a2 也是奇数，那么 a1+a2+a3=a1+5+c3=a2+5+c2=15。于是a3、c3、c2 也都是奇数，连同 b2=5 共有六个奇数，矛盾。
(2)如果 a2 为偶数，那么 a3、c2 为偶数。又因为 c3 为奇数，a3+b3+c3=c1+c2+c3=15，所以 b3、c1 为偶数。这样就有 5 个偶数，矛盾。
所以 a1 不能为奇数。
同理可证 c1、c3、a3 都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方(如 图 4、图 5)。
例 2 把 4 至 12 填在 3×3 的方格内，制成三阶幻方。 解：(1)求幻和：(4+5+⋯⋯+12)÷3=72÷3=24。
(2)求中心数：∵72+3b2=24×4，∴3b2=24，∴b2=8。(3)确定四角 数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数为偶。现在九个数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证这个猜想是 正确的，所以在四个角上填 7、5、9、11。填其余数字就容易了(如图 6)
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、 既辐射又封闭的复合型数阵。
例 3 将 1 至 7 七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相等。
解：首先确定中心数。不妨设中心数为 a，则 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3整除。所以， (28+2a)÷3=28÷3+2a÷3。其中，28÷3 商 9 余 1。因此，2a÷3 的余数必须是 2，那么当 a 是什么数时 2a÷3 的余数才是 2 呢?为此， 我们在 1～7 六个数中试验选择如下：
当 a=1 时， 2a÷3=2÷3 商 0 余 2;(符合要求) 当 a=2 时， 2a÷3=4÷3 商 1 余 1;
当 a=3 时， 2a÷3=6÷3 商 2 余 0;
当 a=4 或 7 时，余数也是 2。(符合要求)
所以，当 a=1、4、7 时，2a÷3 的余数是 2，即中心数为 1，4，7。
当 a=l 时，(28+2)÷3=10，所以除中心数外，其他两个数的和是
10-1=9，只要把 2、3、4、5、6、7 按和为 9 分成三组填入~内即可。 当 a=4 时，(28+8)÷3=12，除中心数外其他两个数的和为 8。
当 a=7 时， (28+14)÷3=14，除中心数外其他两个数的和为 7。
例 4 将 1 至 6 分别填入圈内，使各边上三个~内数字和相等。
解：首先应确定三个顶点上~内的数字。
用 k 表示每边上三个~内的数字和，用 a、b、c 分别表示三个顶点~内的数字，因为三个顶点上的数在求和时多用了一次，所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c=3k，21+a+b+c=3k，即 k=(21+a+b+c)÷3。
又因为 a、b、c 可以分成七组数：1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，2，6;1，3，5；2，4，6。
我们把这四组 a+b+c 的和与 k 的值列表如下：
从表中看出，当 a+b+c 的最小值是 1+2+3=6 时，k 的最小值是 9。 当 a+b+c 的值最大是 4+5+6=15 时，k 的最大值是 12。
1.当 a+b+c=6，k=9 时，a、b、C 分别是(1，2，3)、(1，3，2)、
(2，1，3)、(2，3，1)、(3，1，2)、(3，2，1)，那么，其余三个
~内分别填 4、5、6。我们可以填出六种解法：
从上面答案可发现，只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得
到其余的五个解。我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解是同一个解。
2.当 a+b+c=9，k=10 时，试验如下：
(1)如果 a=1，b=2，c=6(如右图)，那么在三角形底边上只有填 2， 才能使底边上~内数的和是 10，但这样重复，因此无解。
(2)如果 a=1，b=3，c=5，那么其余三个~内分别填 2、4、6，得本题 的第二个基本解。
(3)a=2，b=3，c=4 时，无解。
3.当 a+b+c=12，k=11 或 a+b+c=15，k=12 时，用上面同样的方法得 到下面的两个基本解：
从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有 24
个解，但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。
例 5 把 1 至 8 八个数分别填入图中的八个~内，使每个圆周上五个数的和都等于 21。
解：设两个圆的交叉点上的两个~内各是 a、b。那么，在计算两个大圆 周上 10 个数的和时，a、b 两数都多加了一次，所以 1+2+⋯⋯+8+a+b 除以 2 应该是 21，即 36+a+b=21×2，从而得 a+b=6。
在 1 至 8 八个数中，只有 1 和 5，2 和 4 这两组数的和是 6。
(1)如果中间两个~内分别填 1 和 5，另外三个~①内三个数的和都应 当是 21-6=15，在 2，3，4，6，7，8 这六个数中，和相等的数只有 2，6，7 和 3，4，8。
(2)如果中间两个~内填 2 和 4，其他的数可分成两组 1，6，8 和 3，5，7，分别填入~中。
例 6 把 1 至 7 七个数填在右图的~内，使每条线上三个数的和都相等。
(1988 年无锡市小学生数学竞赛试题)
解：本题是例 3 的发展，设中心数为 x，其余各数分别为 a、b、c、d、e、f。根据例 3 的分析，x 可取 1、4、 7。
(1)当=1 时，则得每条线上三个数的和为 10。
a+b+c+d+e+f=28-x=-27。 但 a+c+e=10，b+d+f=10，
于是 a+b+c+d+e+f=20。两种结果产生矛盾，因此，x 不能为 1。
(2)当 x=4 时，则得每条线上三个数的和为 12。
a+b+c+d+e+f=28-x=24。
但 a+c+e=12，b+d+f=12， 于是 a+b+c+d+e+f=24。
两种结果一致，因此，x 可为 4。
因为 1+7+4=12，6+2+4=12，5+3+4=12，而且 7+2+3= 12，1+6+5=12， 所以可得解。
图中当 1 的位置确定后，5 与 6 可以对换，(3 与 2 也相应的对换)，因 此有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式， 这样就有 2×3=6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因 此，本题有 6×2=12 种不同形式。
(3)当 x=7 时，无解。
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