小学教育网 发表于 2016-8-9 17:22:39

决战2013年小升初数学竞赛解题密匙:填数问题

  在2013年小升初中,奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖,可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙,希望对大家有所帮助。
        二、填数问题——从“九宫算”谈
          在填数问题中,小学生常常采用“凑”的方法,通过几次试验来寻找解 答。如果我们深挖其中的道理,就会找到一些解题规律,使认识进一步深化。 在这个意义上讲,填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。
          我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献,著名的“九宫算”就 是其中之一,最早提出的问题是:
          将 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数之和相等。
       

          这种图形填数,我国古代称为“九宫算”、“纵横图”,国外叫做幻方。
          “九宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在 3×3 的小格内,它是一个三阶幻方。 传说大禹治水的时候,洛水中浮出一只神龟,龟背上驮了一个“洛书”图。将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。
          一般地,在 n×n 的方格内,既不重复又不遗漏地填上 n2 个自然数,每 个数占一格,并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等,这样排成的数表称为 n 阶幻方。都相等的和叫幻和。
          幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林 就曾经对幻方很感兴趣。目前,最大的幻方是 105 阶,它是由美国一位 13 岁少年作成的。
          下面我们来谈谈如何填好“九宫图”。
          例 1 填九宫图所表示的幻方。 解:首先应解决二个问题:
          (1)每行、每列的和是多少?(这个和叫幻和)
          (2)中间位置的数应当填几?(求幻和时几次用到了它) 为了叙述方便,我们把每个方格内要填的数字用字母表示。
          首先求出幻和。因为 a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=1+2+3+4+⋯⋯+9=45, a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2+c3=幻和,所以,幻和×3=45,幻和=45÷3=15。
          其次,确定中心数 b2。 因为(al+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(a2+b2+c2)+(b1+b2+b3)=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60,所以 b2=5,即中间数应当是 5。
          最后,考虑四个角上应填什么数 假设 a1为奇数,那么
          1)如果 a2 也是奇数,那么 a1+a2+a3=a1+5+c3=a2+5+c2=15。于是a3、c3、c2 也都是奇数,连同 b2=5 共有六个奇数,矛盾。
          (2)如果 a2 为偶数,那么 a3、c2 为偶数。又因为 c3 为奇数,a3+b3+c3=c1+c2+c3=15,所以 b3、c1 为偶数。这样就有 5 个偶数,矛盾。
        所以 a1 不能为奇数。
          同理可证 c1、c3、a3 都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方(如 图 4、图 5)。
       

jzsix 发表于 2016-8-9 18:00:35


       
                               
          例 2 把 4 至 12 填在 3×3 的方格内,制成三阶幻方。 解:(1)求幻和:(4+5+⋯⋯+12)÷3=72÷3=24。
          (2)求中心数:∵72+3b2=24×4,∴3b2=24,∴b2=8。(3)确定四角 数:由上题九个数中有五个为奇数,中心数为奇数,四角数为偶。现在九个数中五个为偶数,中心数为偶数,猜想四角数应为奇数,经验证这个猜想是 正确的,所以在四个角上填 7、5、9、11。填其余数字就容易了(如图 6)
       

          数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、 既辐射又封闭的复合型数阵。
          例 3 将 1 至 7 七个数字填入图中的圈内,使每条线上的三个数的和相等。
          解:首先确定中心数。不妨设中心数为 a,则 1+2+3+4+5+6+7+2a 能被 3整除。所以, (28+2a)÷3=28÷3+2a÷3。其中,28÷3 商 9 余 1。因此,2a÷3 的余数必须是 2,那么当 a 是什么数时 2a÷3 的余数才是 2 呢?为此, 我们在 1~7 六个数中试验选择如下:
          当 a=1 时, 2a÷3=2÷3 商 0 余 2;(符合要求) 当 a=2 时, 2a÷3=4÷3 商 1 余 1;
          当 a=3 时, 2a÷3=6÷3 商 2 余 0;
          当 a=4 或 7 时,余数也是 2。(符合要求)
          所以,当 a=1、4、7 时,2a÷3 的余数是 2,即中心数为 1,4,7。
          当 a=l 时,(28+2)÷3=10,所以除中心数外,其他两个数的和是
          10-1=9,只要把 2、3、4、5、6、7 按和为 9 分成三组填入~内即可。 当 a=4 时,(28+8)÷3=12,除中心数外其他两个数的和为 8。
          当 a=7 时, (28+14)÷3=14,除中心数外其他两个数的和为 7。
          例 4 将 1 至 6 分别填入圈内,使各边上三个~内数字和相等。
          解:首先应确定三个顶点上~内的数字。
          用 k 表示每边上三个~内的数字和,用 a、b、c 分别表示三个顶点~内的数字,因为三个顶点上的数在求和时多用了一次,所以 1+2+3+4+5+6+a+b+c=3k,21+a+b+c=3k,即 k=(21+a+b+c)÷3。
          又因为 a、b、c 可以分成七组数:1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6;1,2,6;1,3,5;2,4,6。
          我们把这四组 a+b+c 的和与 k 的值列表如下:
       

          从表中看出,当 a+b+c 的最小值是 1+2+3=6 时,k 的最小值是 9。 当 a+b+c 的值最大是 4+5+6=15 时,k 的最大值是 12。
          1.当 a+b+c=6,k=9 时,a、b、C 分别是(1,2,3)、(1,3,2)、
          (2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1),那么,其余三个
          ~内分别填 4、5、6。我们可以填出六种解法:
          从上面答案可发现,只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得
          到其余的五个解。我们把第一个解叫做基本解,其余的五个解看作与基本解是同一个解。
          2.当 a+b+c=9,k=10 时,试验如下:
          (1)如果 a=1,b=2,c=6(如右图),那么在三角形底边上只有填 2, 才能使底边上~内数的和是 10,但这样重复,因此无解。
          (2)如果 a=1,b=3,c=5,那么其余三个~内分别填 2、4、6,得本题 的第二个基本解。
          (3)a=2,b=3,c=4 时,无解。
          3.当 a+b+c=12,k=11 或 a+b+c=15,k=12 时,用上面同样的方法得 到下面的两个基本解:
          从上面分析,我们可以看到,每一个基本解可得六个解,本题共有 24
          个解,但是今后解答这类问题时,只要求基本解就可以了。

jzfour 发表于 2016-8-9 18:44:00


       
                               
          例 5 把 1 至 8 八个数分别填入图中的八个~内,使每个圆周上五个数的和都等于 21。
          解:设两个圆的交叉点上的两个~内各是 a、b。那么,在计算两个大圆 周上 10 个数的和时,a、b 两数都多加了一次,所以 1+2+⋯⋯+8+a+b 除以 2 应该是 21,即 36+a+b=21×2,从而得 a+b=6。
          在 1 至 8 八个数中,只有 1 和 5,2 和 4 这两组数的和是 6。
          (1)如果中间两个~内分别填 1 和 5,另外三个~①内三个数的和都应 当是 21-6=15,在 2,3,4,6,7,8 这六个数中,和相等的数只有 2,6,7 和 3,4,8。
          (2)如果中间两个~内填 2 和 4,其他的数可分成两组 1,6,8 和 3,5,7,分别填入~中。
          例 6 把 1 至 7 七个数填在右图的~内,使每条线上三个数的和都相等。
          (1988 年无锡市小学生数学竞赛试题)
          解:本题是例 3 的发展,设中心数为 x,其余各数分别为 a、b、c、d、e、f。根据例 3 的分析,x 可取 1、4、 7。
          (1)当=1 时,则得每条线上三个数的和为 10。
          a+b+c+d+e+f=28-x=-27。 但 a+c+e=10,b+d+f=10,
          于是 a+b+c+d+e+f=20。两种结果产生矛盾,因此,x 不能为 1。
          (2)当 x=4 时,则得每条线上三个数的和为 12。
          a+b+c+d+e+f=28-x=24。
          但 a+c+e=12,b+d+f=12, 于是 a+b+c+d+e+f=24。
          两种结果一致,因此,x 可为 4。
          因为 1+7+4=12,6+2+4=12,5+3+4=12,而且 7+2+3= 12,1+6+5=12, 所以可得解。
          图中当 1 的位置确定后,5 与 6 可以对换,(3 与 2 也相应的对换),因 此有两种不同的形式。而 1 在外圈上有三个位置可选择,有三种不同形式, 这样就有 2×3=6 种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换,因 此,本题有 6×2=12 种不同形式。
          (3)当 x=7 时,无解。
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