小升初奥数常考知识点解析-《余数、同余与周期》
一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(modm);
②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm);
③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm);
④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm);
⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
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